6ª HORA DE OPEN CURSE

EN LA HORA  6  HE VISTO:

1ª  DEFINICION DE DETERMINANTE:

Una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema.

 

Además de esta regla, para calcular determinantes de matrices de cualquier orden podemos usar otra definición de determinante conocida como Fórmula de Leibniz.

 

 

 

donde la suma se calcula sobre todas las permutaciónes σ del conjunto {1,2,...,n}. La posición del elemento i después de la permutación σ se denota como σi. El conjunto de todas las permutaciones es Pn. Para cada σ, sgn(σ) es la signatura de σ, esto es +1 si la permutación es par y −1 si es impar (ver Paridad de permutaciones).

En cualquiera de los n! sumandos, el término

 

denota el producto de las entradas en la posición (i, σ_i), donde i va desde 1 hasta n:

La fórmula de Leibniz es útil como definición de determinante; pero, excepto en casos muy pequeños, no es una forma práctica de calcularlo: hay que llevar a cabo n! productos de n factores y sumar n! elementos. No se suele usar para calcular el determinante si la matriz tiene más de tres filas.

 

 

2ª DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

El determinante de la matriz triangular vale

 

 

 

Es evidente, que el procedimiento de Gauss es posible siempre que los elementos de la diagonal principal de la matriz transformada no sean nulos, a estos elementos se denominan pivotes. Un procedimiento mejorado detectará qué pivote es nulo y procederá a intercambiar una fila por otra para evitarlo, lo que no modifica el sistema de ecuaciones, pero si el signo del determinante.

Discutiremos, ahora, el código para reducir una matriz cualesquiera a su matriz triangular equivalente por el método de Gauss. Tenemos que traducir las siguientes fórmulas a código, para cualquiera que sea la dimensión n (en el ejemplo 4) de la matriz cuadrada.

           k=0
          k=1
           k=2