9ª HORA DE OPEN COURSE

En mi 9ª hora de open course e podido ver el siguiente contenido:

FORMAS CUADRÁTICAS

Dada una matriz (IR) n AÎM , se define la FORMA CUADRÁTICA real asociada a la matriz

A a la función : IR IR n Q ® dada por Q(x) x Ax T = para todo n

una forma cuadrática es una expresión polinómica en n variables cuyos términos son todos de grado dos.

CLASIFICACIÓN DE FORMAS CUADRÁTICAS

Dada una matriz simétrica (IR) n AÎM , se dice que la Forma Cuadrática asociada a A es (y del mismo modo,

se dice que la matriz A es):

· Definida Positiva Û

x Ax > 0 T para todo IR , 0 n xÎ x ¹

· Semidefinida Positiva Û

x Ax ³ 0 T para todo n xÎIR

· Definida Negativa Û

x Ax < 0 T para todo IR , 0 n xÎ x ¹

· Semidefinida Negativa Û

x Ax £ 0 T para todo n xÎIR

· Indefinida Û

no es Semidefinida Positiva ni Semidefinida Negativa

Proposición 4.1: Dada una matriz simétrica (IR) n AÎM , siendo Ai el determinante de la submatriz de orden i

que se forma sobre la diagonal principal de A empezando en su primer elemento a11, se tiene:

· Si 0, 0, , 0 0 1 2 1 > > > ³ n- n A A K A y A Þ A Semidefinida Positiva

· Si 0, 0, , 1 2 A < A > K (alterna el signo) pudiendo anularse sólo n A Þ A Semidefinida Negativa

Particularmente,

0, 0, , 0 0 1 2 1 > > > > n- n A A K A y A Û A Definida Positiva

0, 0, , 1 2 A < A > K (alterna el signo) Û A Definida Negativa

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· Si no se verifica 0, 0, , 0 1 2 ³ ³ ³ n A A K A ni 0, 0, , 1 2 A £ A ³ K (alterna el signo) Þ A Indefinida

CLASIFICACIÓN DE FORMAS CUADRÁTICAS RESTRINGIDAS

La Forma Cuadrática Q restringida a S asociada a la matriz A es (esto es, se dice que Q restringida a S es):

· Definida Positiva Û

x Ax > 0 T para todo xÎS, x ¹ 0

· Semidefinida Positiva Û

x Ax ³ 0 T para todo xÎS

· Definida Negativa Û

x Ax < 0 T para todo xÎS, x ¹ 0

· Semidefinida Negativa Û

x Ax £ 0 T para todo xÎS

· Indefinida Û

no es Semidefinida Positiva ni Semidefinida Negativa.